برای حل مسئله موج ایستاده، پیش از انتخاب فرمول فقط دو چیز را مشخص کن: دو انتهای محیط گرهاند یا شکم، و شکل چند قطعه یکچهارم طول موج در خود جا داده است. در تارِ دو سر ثابت، هر دو انتها گرهاند و L = nλ/2؛ در لوله باز–باز، دو انتها شکم جابهجاییاند و همین طول موجهای مجاز به دست میآید؛ اما در لوله باز–بسته، سر بسته گره و سر باز شکم جابهجایی است و فقط حالتهای فرد با L = (2k−1)λ/4 ممکناند. پس از یافتن λ، بسامد از f = v/λ محاسبه میشود.
موج ایستاده چگونه ساخته میشود؟
وقتی موج رونده به انتهای محیط میرسد و بازتاب میشود، موج رفت و برگشت با بسامد یکسان روی هم میافتند. در بسامدهای مجاز، برهمنهی آنها الگویی میسازد که بعضی نقطههایش همواره بیحرکت و بعضی نقطههایش دارای بیشترین دامنهاند. به نقطه بیحرکت گره و به نقطه با دامنه بیشینه شکم میگوییم.
فاصله دو گره پیاپی یا دو شکم پیاپی λ/2 است و فاصله هر گره تا شکم مجاور λ/4. همین دو فاصله برای خواندن بیشتر شکلها کافیاند. موج ایستاده انرژی را مانند یک موج رونده در یک جهت حمل نمیکند؛ هر بخش محیط نوسان میکند، اما جای گرهها و شکمها ثابت میماند.
- گره تا گره مجاور: λ/2.
- شکم تا شکم مجاور: λ/2.
- گره تا شکم مجاور: λ/4.
شرط مرزی تار و لوله را درست تشخیص بده
در تارِ بستهشده به تکیهگاه، نقطه انتهایی نمیتواند جابهجا شود؛ پس هر انتهای ثابت یک گره است. در لوله صوتی درباره جابهجایی ذرات هوا حرف میزنیم: نزدیک انتهای بسته، حرکت طولی هوا تقریباً صفر و گره جابهجایی تشکیل میشود؛ در انتهای باز، هوا آزادتر حرکت میکند و شکم جابهجایی داریم.
اگر نمودار سؤال بهجای جابهجایی، تغییر فشار هوا را نشان دهد، جای گره و شکم فشار برعکس است: انتهای بسته شکم فشار و انتهای باز گره فشار دارد. پیش از شمارش شکل، برچسب محور یا متن سؤال را بخوان تا نمودار فشار را با جابهجایی اشتباه نگیری.
- تار دو سر ثابت: گره در هر دو انتها.
- لوله باز–باز: شکم جابهجایی در هر دو انتها.
- لوله باز–بسته: گره جابهجایی در سر بسته و شکم جابهجایی در سر باز.
طول موجها و هارمونیکهای مجاز را از شکل بساز
در تار دو سر ثابت، سادهترین حالت میان دو گره فقط نصف طول موج جا میدهد؛ بنابراین L = λ1/2 و f1 = v/(2L). با افزودن هر نیمموج، حالت بعدی ساخته میشود و رابطه عمومی fn = nv/(2L) برای n = 1, 2, 3, ... به دست میآید. لوله باز–باز نیز از نظر طول موجهای مجاز همین الگو را دارد، هرچند دو انتهای آن شکم جابهجاییاند.
در لوله باز–بسته، سادهترین شکل از یک گره به یک شکم میرود و فقط یکچهارم طول موج در لوله است: L = λ1/4 و f1 = v/(4L). حالت مجاز بعدی سه چهارم طول موج و سپس پنج چهارم طول موج دارد؛ پس f = (2k−1)v/(4L) برای k = 1, 2, 3, ... . به همین دلیل بسامدهای 2f1 و 4f1 در این مدل، تشدیدهای مجاز لوله باز–بسته نیستند.
مسیر پنجمرحلهای حل مسئله موج ایستاده
ابتدا نوع محیط و وضعیت هر انتها را بنویس. سپس روی شکل، انتهاها را با گره یا شکم علامت بزن و مسیر را به قطعههای λ/4 تقسیم کن. اگر تعداد این قطعهها را N بگیری، رابطه مستقیم L = Nλ/4 است؛ این روش حتی وقتی شماره هارمونیک داده نشده باشد کار میکند.
از رابطه شکل، λ را پیدا کن و سرعت موج را با یکای سازگار در f = v/λ قرار بده. فقط پس از این مراحل، نام هارمونیک را تعیین کن. در پایان بررسی کن که شکل به شرط دو انتها وفادار است و بسامد حالت بالاتر از بسامد پایه بزرگتر شده است.
- نوع محیط و باز یا بستهبودن انتهاها را مشخص کن.
- گرهها و شکمها را روی شکل علامت بزن.
- تعداد فاصلههای λ/4 را در طول L بشمار.
- λ و سپس f = v/λ را محاسبه کن.
- شرط مرزی، شماره هارمونیک و واحدها را کنترل کن.
مثال حلشده: بسامد سوم تار دو سر ثابت
تاری به طول ۱٫۲ متر از دو سر ثابت است و موج با سرعت ۹۶ متر بر ثانیه روی آن حرکت میکند. بسامد سوم را پیدا کن. در حالت سوم، سه نیمموج در طول تار جا میگیرد؛ پس L = 3λ/2 و λ = 2L/3 = 0.8 m.
اکنون f3 = v/λ = 96/0.8 = 120 Hz. همین نتیجه از f3 = 3v/(2L) نیز به دست میآید. کنترل شکل نشان میدهد دو انتهای تار و دو نقطه داخلی گرهاند و سه شکم داریم؛ بنابراین سه نیمموج شمرده شده و شماره حالت درست است.
مثال حلشده: تشدید بعدی لوله باز–بسته
لولهای به طول ۸۵ سانتیمتر از یک سر بسته است و سرعت صوت را ۳۴۰ متر بر ثانیه میگیریم. بسامد پایه از f1 = v/(4L) به دست میآید. ابتدا 85 cm را به 0.85 m تبدیل میکنیم؛ در نتیجه f1 = 340/(4×0.85) = 100 Hz.
تشدید بعدی این لوله سومین هارمونیک است، نه دومین هارمونیک؛ بنابراین بسامد آن 3f1 = 300 Hz خواهد بود. شکل این حالت سه قطعه λ/4 دارد: از گره سر بسته به شکم، سپس به گره داخلی و سرانجام به شکم سر باز.
اگر سرعت موج تغییر کند، بسامدها چه میشوند؟
در یک طول و حالت ثابت، بسامدهای مجاز با سرعت موج نسبت مستقیم دارند. برای تار کشیده، سرعت موج از v = √(T/μ) به دست میآید؛ T کشش تار و μ جرم واحد طول آن است. پس چهار برابرشدن کشش، سرعت و همه بسامدهای مجاز را دو برابر میکند، به شرط آنکه طول و جرم واحد طول ثابت بمانند.
در لوله صوتی، سرعت صوت به ویژگیهای محیط وابسته است. هنگام مقایسه دو حالت، اگر مسئله سرعت را ثابت فرض نکرده باشد، نباید تغییر بسامد را فقط از طول نتیجه بگیری. ابتدا مشخص کن کدام کمیتها ثابتاند و سپس نسبت fn ∝ v/L را برای یک نوع لوله و شماره حالت یکسان به کار ببر.
خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ
رایجترین خطا این است که برای لوله باز–بسته همه مضربهای صحیح بسامد پایه را مجاز بدانیم. در این لوله نسبت تشدیدها 1:3:5:... است. خطای دیگر، شمردن تعداد شکمها بهجای فاصلههای λ/4 بدون توجه به وضعیت انتهاهاست؛ روش فاصلههای یکچهارم طول موج در هر سه سامانه مطمئنتر است.
برای مرور رابطه دوره، بسامد و طول موج، راهنمای نوسان و موج را بخوان. اگر مسئله تغییر بسامد شنیدهشده بر اثر حرکت منبع یا ناظر را میپرسد، موضوع موج ایستاده نیست و راهنمای اثر دوپلر مناسبتر است. در محاسبات عددی نیز مقاله تحلیل ابعادی و کنترل واحد برای تبدیل سانتیمتر به متر و بررسی واحد هرتز کمک میکند.
- گره و شکم فشار را با گره و شکم جابهجایی هوا جابهجا نکن.
- در لوله باز–بسته، تشدید دوم از نظر ترتیب، هارمونیک سوم است.
- سرعت را با m/s و طول را با m وارد کن تا بسامد برحسب Hz به دست آید.
- شکل نهایی باید دقیقاً با گره یا شکم لازم در هر انتها تمام شود.
در موج ایستاده، شکل و شرط مرزی از حفظ فرمول مهمتر است. ابتدا گره یا شکم بودن دو انتها را تعیین کن، فاصلههای λ/4 را روی شکل بشمار و سپس از f = v/λ استفاده کن. تار دو سر ثابت و لوله باز–باز همه هارمونیکهای صحیح را دارند، ولی لوله باز–بسته فقط هارمونیکهای فرد را میپذیرد. در پایان با شرط انتهاها، ترتیب بسامدها و واحد سرعت، طول و بسامد پاسخ را کنترل کن.