اصطکاک ایستایی و جنبشی؛ روش حل مسائل سطح شیبدار

اصطکاک ایستایی با اصطکاک جنبشی چه تفاوتی دارد؟

تا وقتی دو سطح نسبت به هم نمی‌لغزند، اصطکاک ایستایی است. اندازه آن از صفر تا fs,max = μsN تغییر می‌کند تا در صورت امکان از لغزش جلوگیری کند. بنابراین رابطه fs = μsN برای همه حالت‌های سکون درست نیست؛ این برابری فقط وقتی برقرار است که جسم درست در آستانه لغزش باشد.

پس از شروع لغزش، مدل ساده دبیرستانی اندازه اصطکاک جنبشی را fk = μkN می‌گیرد. N نیروی عمودی سطح و μ ضریب اصطکاک بی‌بعد است. معمولاً مقدار μs و μk را صورت سؤال می‌دهد. اگر جسم واقعاً می‌لغزد، استفاده از ضریب ایستایی حتی در لحظه‌های حرکت یکنواخت نادرست است.

• سکون بدون عبارت «آستانه حرکت»: ابتدا اصطکاک لازم را از معادله نیروها پیدا کن.
• آستانه لغزش: از fs = μsN استفاده کن.
• لغزش: از fk = μkN استفاده کن و جهت آن را خلاف لغزش نسبی بگیر.

جهت اصطکاک را از تمایل به لغزش پیدا کن

برای تعیین جهت اصطکاک، تصور کن سطح زبر برای یک لحظه بدون اصطکاک شده است. جسم نسبت به سطح به کدام سمت می‌لغزد؟ اصطکاک در جهت مخالف همان لغزش احتمالی وارد می‌شود. روی سطح شیبدار، اگر مؤلفه وزن جسم را رو به پایین سطح می‌کشد، اصطکاکِ مانع سکون رو به بالای سطح است؛ اما اگر نیروی خارجی بزرگی جسم را رو به بالا بکشد، اصطکاک می‌تواند رو به پایین باشد.

عبارت «اصطکاک همیشه خلاف حرکت جسم است» دقیق نیست. اصطکاک خلاف حرکت نسبی یا تمایل به حرکت نسبی دو سطح است. برای نمونه، هنگام راه‌رفتن بدون سرخوردن، پا زمین را به عقب می‌فشارد و اصطکاک ایستایی زمین بر پا رو به جلو است.

مسیر شش‌مرحله‌ای حل مسئله اصطکاک

جسم مورد نظر را جدا کن و وزن، نیروی عمودی سطح، نیروی خارجی و اصطکاک را روی نمودار جسم آزاد بکش. روی سطح شیبدار، محور x را موازی سطح و محور y را عمود بر آن بگیر؛ در این صورت مؤلفه‌های وزن mg sinθ در امتداد سطح و mg cosθ عمود بر سطح‌اند.

معادله عمود بر سطح را زودتر بنویس تا N معلوم شود. وجود نیروی مایل می‌تواند N را کم یا زیاد کند، پس N همیشه برابر mg نیست. بعد وضعیت سکون، آستانه یا لغزش را تعیین کن، رابطه درست اصطکاک را به کار ببر و در امتداد سطح قانون دوم نیوتون را بنویس.

• جسم و تمام نیروهای خارجی را مشخص کن.
• محورها را موازی و عمود بر سطح انتخاب کن.
• از معادله عمود بر سطح، N را بیاب.
• تمایل به لغزش و جهت اصطکاک را تعیین کن.
• نوع اصطکاک و رابطه مناسب آن را انتخاب کن.
• معادله امتداد سطح را حل و جواب را با وضعیت فرض‌شده کنترل کن.

مثال حل‌شده: آیا جسم روی سطح افقی حرکت می‌کند؟

جسمی ۵ کیلوگرمی روی سطح افقی قرار دارد. ضریب اصطکاک ایستایی ۰٫۴، ضریب اصطکاک جنبشی ۰٫۳ و g = 10 m/s² است. ابتدا نیروی افقی ۱۵ نیوتون و سپس نیروی افقی ۲۵ نیوتون به آن وارد می‌کنیم. وضعیت جسم و اصطکاک را در هر حالت پیدا کن.

در راستای عمودی شتاب نداریم، پس N = mg = 50 N. بیشینه اصطکاک ایستایی برابر fs,max = 0.4×50 = 20 N است. در حالت نخست، برای سکون فقط ۱۵ نیوتون اصطکاک لازم است و چون 15 < 20، جسم ساکن می‌ماند؛ اصطکاک ۱۵ نیوتون و خلاف نیروی واردشده است، نه ۲۰ نیوتون.

در حالت دوم نیروی ۲۵ نیوتون از سقف اصطکاک ایستایی بیشتر است، پس جسم شروع به لغزش می‌کند. اکنون fk = 0.3×50 = 15 N و نیروی خالص 25 − 15 = 10 N است. شتاب از a = Fnet/m برابر 2 m/s² به دست می‌آید. پس از شروع حرکت نباید همچنان ۲۰ نیوتون اصطکاک ایستایی را در معادله گذاشت.

مثال حل‌شده: جسم ساکن روی سطح شیبدار

جسمی ۲ کیلوگرمی روی سطح شیبدار ۳۰ درجه ساکن است. اگر μs = 0.7 و g = 10 m/s² باشد، اندازه اصطکاک را پیدا کن و بررسی کن آیا سکون ممکن است. از sin30° = 0.5 و cos30° ≈ 0.87 استفاده کن.

مؤلفه وزن در امتداد سطح mg sinθ = 2×10×0.5 = 10 N و رو به پایین است؛ پس برای سکون، اصطکاک لازم ۱۰ نیوتون و رو به بالای سطح است. نیروی عمودی سطح N = mg cosθ ≈ 17.4 N و بیشینه اصطکاک ایستایی fs,max = 0.7×17.4 ≈ 12.2 N است.

چون اصطکاک لازم ۱۰ نیوتون از بیشینه ۱۲٫۲ نیوتون کمتر است، سکون ممکن است و اصطکاک واقعی همان ۱۰ نیوتون است. مقدار ۱۲٫۲ نیوتون فقط ظرفیت بیشینه سطح است. اگر مؤلفه وزن از این سقف بیشتر می‌شد، فرض سکون رد و برای حرکت باید شتاب را با اصطکاک جنبشی محاسبه می‌کردیم.

زاویه آستانه لغزش را چگونه به دست آوریم؟

اگر جسم روی سطح شیبدار فقط تحت اثر وزن، نیروی عمودی سطح و اصطکاک باشد، در آستانه سرخوردن رو به پایین داریم mg sinθ = fs,max و N = mg cosθ. با جای‌گذاری fs,max = μsN، رابطه mg sinθ = μs mg cosθ و در نتیجه tanθ = μs به دست می‌آید.

این رابطه مخصوص آستانه لغزش و همین آرایش نیروهاست. اگر نیروی دیگری وارد شود یا جسم شتاب داشته باشد، نمی‌توان بدون بررسی دوباره از tanθ = μ استفاده کرد. مزیت استنتاج رابطه این است که می‌بینی جرم حذف می‌شود؛ در این مدل، زاویه آستانه به جرم جسم وابسته نیست.

خطاهای رایج در نیروی عمودی سطح و اصطکاک

رایج‌ترین خطا برابرگرفتن همیشگی N با mg است. روی سطح شیبدار، بدون نیروی عمودی دیگر، N = mg cosθ است. روی سطح افقی نیز اگر نیروی خارجی مؤلفه رو به بالا یا پایین داشته باشد، مقدار N تغییر می‌کند و در نتیجه سقف اصطکاک هم عوض می‌شود.

خطای دوم استفاده فوری از μsN برای جسم ساکن است. ابتدا اصطکاک لازم را از شرط شتاب صفر حساب و بعد آن را با μsN مقایسه کن. اگر مقدار لازم از سقف بیشتر باشد، فرض سکون ناممکن است. برای کامل‌کردن نیروها راهنمای رسم نمودار جسم آزاد و برای مسئله‌هایی که مسافت و سرعت می‌خواهند، مقاله انتخاب میان پایستگی انرژی و کار و انرژی را بخوان.

• ضریب اصطکاک واحد ندارد؛ اما نیروی اصطکاک با نیوتون گزارش می‌شود.
• اصطکاک ایستایی می‌تواند صفر باشد، حتی اگر سطح زبر باشد.
• پس از تشخیص لغزش، جهت اصطکاک جنبشی را خلاف سرعت نسبی روی سطح بگیر.
• منفی‌شدن شتاب معمولاً جهت واقعی را نسبت به محور فرضی نشان می‌دهد؛ نوع اصطکاک را عوض نمی‌کند.