برای حل تعادل یک میله، ابتدا همه نیروهای خارجی را روی نمودار جسم آزاد نشان بده، سپس نقطهای را برای محاسبه گشتاور انتخاب کن که بیشترین نیروی مجهول از آن بگذرد. در تعادل ایستا همزمان باید برآیند نیروها صفر و مجموع گشتاورها حول هر نقطه صفر باشد. بازوی هر نیرو فاصله عمودی خط اثر آن تا محور است، نه الزاماً فاصله محل اثر نیرو تا محور؛ همین تمایز بیشتر خطاهای این مبحث را برطرف میکند.
گشتاور را با خط اثر نیرو بسنج
گشتاور توانایی یک نیرو برای چرخاندن جسم حول محور را توصیف میکند. اندازه آن از رابطه τ = rF sinθ به دست میآید؛ r فاصله محور تا محل اثر نیرو و θ زاویه میان بردار r و نیرو است. شکل معادل و معمولاً سادهتر رابطه τ = Fd است که در آن d فاصله عمودی محور تا خط اثر نیروست.
اگر خط اثر نیرو از محور بگذرد، d صفر و گشتاور آن نیرو صفر است؛ حتی اگر اندازه نیرو بزرگ باشد. واحد گشتاور نیوتونمتر است. این واحد از نظر ابعادی با ژول برابر است، اما گشتاور انرژی نیست و نباید آن را با واحد ژول گزارش کرد.
- نیروی عمود بر میله: بازوی گشتاور همان فاصله محل اثر تا محور است.
- نیروی مایل: یا مؤلفه عمود بر r را به کار ببر، یا فاصله عمودی تا خط اثر را پیدا کن.
- نیرویی که در خود محور وارد میشود، حول همان محور گشتاور ندارد.
علامت گشتاور و دو شرط تعادل را جدا کن
یک قرارداد علامت ثابت انتخاب کن؛ برای نمونه، چرخش پادساعتگرد را مثبت و ساعتگرد را منفی بگیر. برای تعیین علامت لازم نیست جهت نیرو را بهتنهایی نگاه کنی. تصور کن فقط همان نیرو وارد شود و ببین میله حول محور به کدام سو تمایل به چرخش دارد.
صفرشدن مجموع گشتاورها فقط نبود شتاب زاویهای را تضمین میکند. جسم ممکن است با وجود گشتاور خالص صفر، شتاب انتقالی داشته باشد. برای تعادل ایستا باید هر سه رابطه Στ = 0، ΣFx = 0 و ΣFy = 0 برقرار باشند. میتوان مجموع گشتاورها را حول هر نقطه نوشت، اما انتخاب هوشمندانه محور تعداد مجهولها را کم میکند.
مسیر ششمرحلهای حل تعادل میله
میله یا جسم صلب را جدا کن و وزن جسمها، وزن خود میله، کشش کابل و مؤلفههای نیروی تکیهگاه را رسم کن. اگر میله یکنواخت است، وزن آن در مرکز هندسی وارد میشود. سپس خط اثر هر نیرو و فاصله عمودی آن تا محور احتمالی را مشخص کن.
محور را معمولاً روی لولا یا تکیهگاهی بگذار که دو مؤلفه نیروی مجهول دارد؛ گشتاور هر دو مؤلفه حول آن نقطه صفر میشود. معادله گشتاور را برای یافتن کشش یا نیروی دور از محور بنویس. پس از آن با دو معادله نیرو، مؤلفههای تکیهگاه را پیدا کن و در پایان علامتها و واحدها را با شکل بسنج.
- جسم مورد بررسی و تمام نیروهای خارجی را مشخص کن.
- مرکز جرم و خط اثر هر نیرو را روی شکل نشان بده.
- محوری انتخاب کن که نیروهای مجهول بیشتری از آن بگذرند.
- بازوی عمودی و جهت چرخش هر نیرو را تعیین کن.
- ابتدا Στ = 0 و سپس ΣFx = 0 و ΣFy = 0 را حل کن.
- پاسخ را با جهت نیروها و حالتهای حدی کنترل کن.
مثال حلشده: میله یکنواخت روی تکیهگاه
میلهای یکنواخت به طول ۴ متر و وزن ۲۰۰ نیوتون روی تکیهگاهی در فاصله ۱ متری از انتهای چپ قرار دارد. جسمی با وزن ۳۰۰ نیوتون را در انتهای چپ میگذاریم. جسم ۱۰۰ نیوتونی را در چه فاصلهای از انتهای راست بگذاریم تا میله افقی در تعادل بماند؟
محور را روی تکیهگاه میگیریم تا نیروی تکیهگاه گشتاور نداشته باشد. جسم ۳۰۰ نیوتونی با بازوی ۱ متر گشتاور پادساعتگرد 300 N·m میسازد. وزن میله در مرکز آن، یعنی ۱ متر سمت راست تکیهگاه، گشتاور ساعتگرد 200 N·m دارد. پس جسم ۱۰۰ نیوتونی باید 100 N·m گشتاور ساعتگرد دیگر بسازد و بازویش از تکیهگاه ۱ متر باشد.
این نقطه ۲ متر از انتهای راست فاصله دارد، زیرا تکیهگاه ۳ متر با انتهای راست فاصله دارد. کنترل نیروها نیز میدهد نیروی رو به بالای تکیهگاه برابر مجموع وزنها، یعنی ۶۰۰ نیوتون است. توجه کن که در سؤال فاصله از انتهای راست خواسته شده بود، نه فاصله از محور.
مثال حلشده: میله افقی متصل به کابل مایل
میلهای افقی و یکنواخت به طول ۳ متر و وزن ۱۲۰ نیوتون از چپ لولا شده است. کابل متصل به انتهای راست میله با میله زاویه ۳۰ درجه میسازد. اگر جسمی با وزن ۱۸۰ نیوتون از انتهای راست آویزان باشد، کشش کابل را پیدا کن.
محور را روی لولا میگذاریم. مؤلفه افقی کشش در امتداد میله است و خط اثرش از لولا میگذرد، پس گشتاور ندارد. مؤلفه عمودی کشش T sin30° با بازوی ۳ متر گشتاور پادساعتگرد میسازد. وزن میله با بازوی ۱٫۵ متر و وزن جسم با بازوی ۳ متر گشتاور ساعتگرد دارند.
از تعادل گشتاورها داریم (T sin30°)(3) = (120)(1.5) + (180)(3). سمت راست 720 N·m است؛ بنابراین T×0.5×3 = 720 و T = 480 N. سپس میتوان مؤلفههای نیروی لولا را از تعادل افقی و عمودی یافت؛ حذف آنها از معادله گشتاور به معنی نبودن این نیروها نیست.
خطاهای رایج در بازو، وزن میله و تکیهگاه
رایجترین خطا استفاده از طول مایل r به جای فاصله عمودی d است. اگر r را به کار میبری، عامل sinθ را فراموش نکن. خطای دوم قرار دادن وزن میله در انتهای آن است؛ وزن یک میله یکنواخت از مرکز هندسی میگذرد، ولی برای میله غیریکنواخت باید محل مرکز جرم داده یا محاسبه شود.
گاهی پس از نوشتن تعادل گشتاور، نیروی تکیهگاه را برابر صفر فرض میکنند چون در معادله ظاهر نشده است. این نیرو فقط حول محور انتخابی گشتاور صفر دارد و مقدارش از تعادل نیروها به دست میآید. برای ساخت درست نمودار نیروها، مقاله رسم نمودار جسم آزاد و برای بررسی واحد N·m، راهنمای تحلیل ابعادی را بخوان.
- علامت گشتاور را از تمایل چرخش تعیین کن، نه از بالا یا پایین بودن نیرو.
- همه فاصلهها را نسبت به محور انتخابی بسنج.
- در تعادل کامل، به صفرشدن مجموع گشتاورها بسنده نکن.
- اگر محل تکیهگاه عوض شود، گشتاور نیروها تغییر میکند اما نتیجه فیزیکی تعادل نباید عوض شود.
سه کنترل سریع برای پاسخ نهایی
نخست واحد هر جمله معادله گشتاور را کنترل کن؛ همه جملهها باید نیوتونمتر باشند. دوم، نیروی دورتر از محور برای ساختن گشتاور مشخص باید اندازه کمتری بخواهد. اگر با افزایش بازو، نیروی لازم بیشتر شده است، احتمالاً فاصله یا نسبت را وارونه نوشتهای.
سوم، محور دیگری انتخاب و بهصورت ذهنی جهت چرخش نیروها را دوباره بررسی کن. لازم نیست مسئله را کامل از نو حل کنی؛ کافی است ببینی گشتاورهای ساعتگرد و پادساعتگرد امکان خنثیکردن یکدیگر را دارند. نیروی منفی در پایان معمولاً یعنی جهت فرضی آن مؤلفه برعکس بوده است، نه اینکه اندازه نیرو منفی باشد.
در مسئلههای تعادل میله، نمودار جسم آزاد را کامل کن، خط اثر نیروها را ببین و محور گشتاور را طوری انتخاب کن که محاسبه کوتاه شود. سپس شرط مجموع گشتاورهای ساعتگرد و پادساعتگرد و دو شرط تعادل نیرو را جدا بنویس. استفاده از فاصله عمودی، واردکردن وزن میله از مرکز جرم و کنترل نیروهای تکیهگاه با معادله نیروها، پاسخ را قابل اعتماد میکند.