برای حل مسئله قانون کولن، یک بار را بهعنوان بار هدف انتخاب کن و نیروی هر بار دیگر بر آن را جداگانه به دست آور. اندازه هر نیرو از F = k|q₁q₂|/r² محاسبه میشود؛ جهت نیرو روی خط واصل دو بار است، بارهای همنام همدیگر را میرانند و بارهای ناهمنام همدیگر را میکشند. در پایان، نیروها را مانند بردار جمع کن؛ جمعکردن مستقیم اندازهها فقط وقتی درست است که همه نیروها همراستا و همجهت باشند.
قانون کولن چه چیزی را محاسبه میکند؟
اندازه نیروی الکتریکی میان دو بار نقطهای از رابطه F = k|q₁q₂|/r² به دست میآید. در این رابطه r فاصله دو بار و k ثابت کولن است. در مسئلههای دبیرستانیِ هوا یا خلأ معمولاً k = 9×10⁹ N·m²/C² در نظر گرفته میشود. رابطه، اندازه نیرو را میدهد؛ جاذبه یا دافعهبودن را باید جداگانه از علامت بارها تشخیص بدهی.
نیروی الکتریکی دو بار بر خط واصل آنها قرار دارد. اگر بارها همنام باشند، نیرو دافعه و اگر ناهمنام باشند، جاذبه است. طبق قانون سوم نیوتون، نیروی بار اول بر دوم و نیروی بار دوم بر اول از نظر اندازه برابر و از نظر جهت مخالفاند؛ متفاوتبودن اندازه بارها این برابری را عوض نمیکند.
- در محاسبه اندازه نیرو از |q₁q₂| استفاده کن.
- علامت بارها جهت جاذبه یا دافعه را تعیین میکند.
- فاصله r را مرکز تا مرکز و با واحد متر وارد کن.
اثر فاصله و اندازه بارها را پیش از محاسبه پیشبینی کن
نیرو با حاصلضرب اندازه دو بار متناسب و با مربع فاصله نسبت وارون دارد. اگر یکی از بارها دو برابر شود و بقیه چیزها ثابت بماند، نیرو دو برابر میشود. اگر فاصله دو برابر شود، نیرو به یکچهارم میرسد؛ سهبرابرشدن فاصله نیز نیرو را یکنهم میکند.
این تناسبها راه خوبی برای کنترل گزینهها هستند. برای مقایسه دو وضعیت لازم نیست همیشه مقدار k را وارد کنی: نسبت F₂/F₁ را بنویس و عوامل مشترک را حذف کن. فراموش نکن که تغییر فاصله بر r² اثر میگذارد، نه بر خود r.
مسیر ششمرحلهای حل مسائل چند بار
ابتدا مشخص کن برآیند نیرو بر کدام بار خواسته شده است؛ این بار، هدف است. فقط نیروهایی را بکش که بارهای دیگر بر بار هدف وارد میکنند. برای هر نیرو، پیش از عددگذاری با توجه به همنام یا ناهمنامبودن بارها یک پیکان روی خط واصل رسم کن.
اندازه هر نیرو را جداگانه از قانون کولن به دست آور. اگر نیروها همخطاند، یک جهت را مثبت بگیر و علامت جبری نیروها را وارد کن. اگر همخط نیستند، هر نیرو را به مؤلفههای x و y تجزیه کن، مؤلفهها را جدا جمع بزن و در پایان اندازه و جهت برآیند را بیاب.
- بار هدف و بارهای منبع را مشخص کن.
- فاصله هر منبع تا بار هدف را جدا بنویس.
- جهت هر نیرو را با جاذبه یا دافعه تعیین کن.
- اندازه نیروها را بدون علامت بار محاسبه کن.
- جمع برداری را بهصورت همخط یا مؤلفهای انجام بده.
- جهت، مرتبه بزرگی و واحد جواب را کنترل کن.
مثال حلشده: برآیند نیرو بر بار میانی
سه بار روی یک خط قرار دارند. بار هدف q = +2 μC است. در فاصله 0.30 m سمت چپ آن، q₁ = +3 μC و در فاصله 0.20 m سمت راست آن، q₂ = −1 μC قرار دارد. برآیند نیروی وارد بر بار هدف را پیدا کن.
بار مثبتِ سمت چپ، بار هدف مثبت را دفع میکند؛ پس F₁ رو به راست است. اندازه آن برابر 9×10⁹ × (3×10⁻⁶)(2×10⁻⁶)/(0.30)² = 0.60 N میشود. بار منفیِ سمت راست، بار هدف را جذب میکند؛ بنابراین F₂ نیز رو به راست است و اندازه آن 9×10⁹ × (1×10⁻⁶)(2×10⁻⁶)/(0.20)² = 0.45 N است.
چون دو نیرو همجهتاند، اندازه برآیند Fnet = 0.60 + 0.45 = 1.05 N و جهت آن رو به راست است. قرارگرفتن دو بار در دو سوی هدف بهتنهایی به معنی مخالفبودن جهت نیروها نیست؛ علامت بارها تعیینکننده است.
مثال حلشده: جمع دو نیروی عمود بر هم
بار هدف +2 μC در مبدأ قرار دارد. یک بار +4 μC در فاصله 0.30 m روی محور x مثبت و یک بار +6 μC در فاصله 0.30 m روی محور y مثبت قرار گرفتهاند. هر دو بار منبع، بار هدف را دفع میکنند؛ پس نیروی اول در جهت x منفی و نیروی دوم در جهت y منفی است.
اندازه نیروی افقی برابر Fx = 9×10⁹ × (2×10⁻⁶)(4×10⁻⁶)/(0.30)² = 0.80 N است. اندازه نیروی عمودی نیز Fy = 9×10⁹ × (2×10⁻⁶)(6×10⁻⁶)/(0.30)² = 1.20 N میشود. چون دو مؤلفه عمودند، اندازه برآیند از √(Fx² + Fy²) به دست میآید و تقریباً 1.44 N است.
بردار برآیند به چپ و پایین متمایل است و چون مؤلفه عمودی بزرگتر است، به محور y منفی نزدیکتر خواهد بود. همین پیشبینی هندسی کمک میکند اشتباه در علامت مؤلفه یا جهت زاویه را زود تشخیص بدهی.
نقطه برآیند نیروی صفر را چگونه پیدا کنیم؟
برای آنکه نیروی خالص بر یک بار آزمون صفر شود، میدانهای ناشی از بارهای منبع باید هماندازه و خلافجهت باشند. ابتدا ناحیهای را پیدا کن که جهت دو نیرو در آن مخالف است؛ سپس اندازهها را برابر بگذار. اگر دو بار منبع همنام باشند، نقطه تعادل میان آنهاست و به بار کوچکتر نزدیکتر میشود.
اگر دو بار منبع ناهمنام باشند، در فاصله میان آنها جهت میدانها یکسان است و برآیند صفر نمیشود. نقطه احتمالی بیرون بازه و در سمت بار کوچکتر قرار میگیرد. در معادله اندازهها، بار آزمون از دو طرف حذف میشود؛ بنابراین مکان نقطه صفر به مقدار یا علامت بار آزمون وابسته نیست، هرچند پایداری تعادل بحث جداگانهای است.
خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ
یکی از خطاهای رایج، واردکردن علامت منفی بار در رابطه اندازه و منفیشدن F است. بهتر است اندازه هر نیرو را مثبت حساب کنی و جهت را روی شکل یا با مؤلفه علامتدار نشان بدهی. خطای دیگر، استفاده از فاصله میان دو بار منبع بهجای فاصله هر منبع تا بار هدف است.
اگر مسئله بهجای نیرو، میدان یا پتانسیل یک نقطه را میخواهد، راهنمای میدان الکتریکی یا پتانسیل الکتریکی کمک میکند کمیت مناسب را انتخاب کنی. برای جمع نیروهای دیگر نیز روش رسم نمودار جسم آزاد مفید است و مقاله تحلیل ابعادی و کنترل واحد، تبدیل میکروکولن و سانتیمتر را مرور میکند.
- μC را با ضریب 10⁻⁶ به کولن تبدیل کن.
- برآیند نیرو یک بردار است؛ اندازهها را بیدلیل جمع نکن.
- در آرایش متقارن، پیش از محاسبه مؤلفههای حذفشونده را تشخیص بده.
- جواب نهایی نیرو را با نیوتون و همراه جهت گزارش کن.
در مسائل قانون کولن، بار هدف را ثابت نگه دار و برای هر بار منبع یک نیروی جدا روی همان شکل بکش. فاصله مرکز تا مرکز را به متر تبدیل کن، اندازه نیروها را با قدرمطلق بارها حساب کن و علامت بار را فقط برای تعیین جهت به کار ببر. سپس نیروهای همخط را جبری و نیروهای دوبعدی را مؤلفهای جمع کن. بررسی جهت برآیند، وابستگی معکوس به مربع فاصله و یکای نیوتون، سه کنترل سریع و مؤثر پاسخاند.