قانون گرانش و حرکت ماهواره؛ روش حل سرعت و دوره مداری

قانون گرانش چه نیرویی را توصیف می‌کند؟

دو جرم m و M با فاصله مرکز تا مرکز r یکدیگر را با نیرویی به اندازه F = GmM/r² جذب می‌کنند. این دو نیرو هم‌اندازه و خلاف‌جهت‌اند و بر خط واصل مرکز دو جرم قرار دارند. ثابت G با شتاب گرانشی g یکی نیست: G ثابت جهانی گرانش است، اما g به جرم جسم آسمانی و فاصله از مرکز آن بستگی دارد.

در بیشتر مسئله‌های نزدیک زمین، اگر تغییر ارتفاع در مقایسه با شعاع زمین ناچیز باشد می‌توان g را تقریباً ثابت گرفت. اما در سؤال‌هایی که ارتفاع ماهواره یا فاصله از مرکز داده شده است، باید از g = GM/r² یا نسبت آن با مقدار سطح استفاده کرد.

• فاصله r را از مرکز یک جرم تا مرکز جرم دیگر اندازه بگیر.
• برای اندازه نیرو از جرم‌های مثبت استفاده کن و جهت جاذبه را جداگانه روی شکل نشان بده.
• اگر فاصله دو برابر شود، نیروی گرانشی به یک‌چهارم می‌رسد.

جرم، وزن و شتاب گرانشی را با هم اشتباه نگیر

جرم ویژگی جسم و یکای آن کیلوگرم است؛ با جابه‌جایی جسم از سطح زمین به ارتفاع بیشتر تغییر نمی‌کند. وزن، نیروی گرانشی وارد بر جسم است و از W = mg به دست می‌آید، پس با تغییر g محل می‌تواند عوض شود. اگر جسم فقط زیر اثر گرانش سقوط کند، شتابش g است و در مدل بدون مقاومت هوا به جرم خودش وابسته نیست.

ترازو معمولاً وزن ظاهری یا نیروی عمودی تکیه‌گاه را نشان می‌دهد، نه لزوماً mg را. در سقوط آزاد، هم جسم و هم تکیه‌گاه با شتاب گرانش حرکت می‌کنند و نیروی تکیه‌گاه صفر می‌شود؛ این بی‌وزنی ظاهری به معنی صفرشدن گرانش یا جرم نیست.

شتاب گرانشی در ارتفاع را با نسبت‌ها حساب کن

اگر شعاع جرم آسمانی R و شتاب گرانشی روی سطح آن g₀ باشد، در ارتفاع h از سطح فاصله تا مرکز r = R + h است. از تقسیم دو رابطه به دست می‌آید g/g₀ = R²/(R + h)². این نسبت معمولاً محاسبه را کوتاه می‌کند، چون G و جرم جرم آسمانی حذف می‌شوند.

مثلاً ماهواره‌ای را در ارتفاعی برابر شعاع زمین در نظر بگیر؛ یعنی h = R و فاصله تا مرکز 2R است. در این نقطه g/g₀ = R²/(2R)² = 1/4، پس شتاب گرانشی یک‌چهارم مقدار سطح است، نه نصف آن. اشتباه رایج این است که ارتفاع h مستقیماً به‌جای r در مخرج گذاشته شود.

مسیر حل ماهواره در مدار دایره‌ای

یک نمودار جسم آزاد برای ماهواره بکش. اگر پیشران خاموش و اثر جرم‌های دیگر ناچیز باشد، تنها نیروی مهم گرانش رو به مرکز است. عبارت «نیروی مرکزگرا» نام یک نیروی تازه نیست؛ نام برآیند شعاعی نیروهاست. بنابراین می‌نویسیم GMm/r² = mv²/r و از آن v = √(GM/r) به دست می‌آید.

پس از یافتن سرعت، محیط مدار 2πr را بر سرعت تقسیم کن: T = 2πr/v. با جای‌گذاری سرعت می‌توان نوشت T = 2π√(r³/GM). جرم ماهواره در هر دو رابطه حذف می‌شود؛ در این مدل، دو ماهواره با جرم‌های متفاوت در یک شعاع مداری سرعت و دوره یکسان دارند.

• شعاع مدار را r = R + h بنویس.
• نیروهای واقعی وارد بر ماهواره را رسم کن.
• برآیند شعاعی را برابر mv²/r قرار بده.
• برای دوره، طول یک دور را بر تندی تقسیم کن.
• وابستگی جواب به شعاع مدار را بررسی کن.

مثال حل‌شده: سرعت و دوره در یک مدار داده‌شده

ماهواره‌ای در مدار دایره‌ای با شعاع r = 9.0×10⁶ m پیرامون سیاره‌ای قرار دارد که GM آن 3.6×10¹⁴ m³/s² است. سرعت و دوره ماهواره را پیدا کن. داده مسئله شعاع مدار از مرکز سیاره است، پس نیازی به افزودن شعاع سیاره نداریم.

از v = √(GM/r) داریم v = √(3.6×10¹⁴ / 9.0×10⁶) = √(4.0×10⁷) و در نتیجه v ≈ 6.32×10³ m/s. برای دوره می‌نویسیم T = 2πr/v؛ بنابراین T ≈ 2π(9.0×10⁶)/(6.32×10³) ≈ 8.94×10³ s، یعنی حدود 149 دقیقه.

کنترل واحد: GM/r یکای m²/s² دارد و ریشه آن m/s است. همچنین T از تقسیم متر بر متر بر ثانیه، یکای ثانیه می‌گیرد. اگر همان سیاره مدار بزرگ‌تری انتخاب شود، رابطه v = √(GM/r) کاهش سرعت و رابطه T ∝ r^(3/2) افزایش دوره را پیش‌بینی می‌کند.

مقایسه مدارها را بدون عددگذاری انجام بده

برای دو مدار دایره‌ای دور یک جرم آسمانی، نسبت سرعت‌ها v₂/v₁ = √(r₁/r₂) است. نسبت دوره‌ها نیز T₂/T₁ = (r₂/r₁)^(3/2) می‌شود. چون جرم مرکزی در نسبت حذف می‌شود، بسیاری از تست‌های مقایسه‌ای را می‌توان بدون G و بدون محاسبه عددی حل کرد.

برای نمونه، اگر شعاع مدار دوم چهار برابر مدار اول باشد، سرعت آن نصف می‌شود و دوره‌اش هشت برابر خواهد شد. سرعت کمتر در مدار بالاتر به معنی نیروی گرانشی بیشتر نیست؛ برعکس، گرانش ضعیف‌تر است، اما شعاع و سرعت لازم برای حرکت دایره‌ای نیز هم‌زمان تغییر کرده‌اند.

خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ

رایج‌ترین خطا، جای‌گذاری ارتفاع از سطح به‌جای فاصله تا مرکز است. خطای بعدی، افزودن نیروی مرکزگرا در کنار گرانش روی نمودار جسم آزاد است؛ این کار نیرو را دوبار می‌شمارد. همچنین صفرشدن نیروی عمودی تکیه‌گاه در سقوط آزاد را نباید با صفرشدن نیروی گرانش یکی دانست.

پس از حل، نمودار جسم آزاد را با راهنمای تشخیص نیروها کنترل کن. اگر مسئله با انرژی پتانسیل گرانشی و تغییر سرعت سروکار دارد، راهنمای انتخاب پایستگی انرژی یا کار و انرژی مسیر مناسب را روشن می‌کند. برای بررسی یکاهای G، GM، سرعت و دوره نیز از راهنمای تحلیل ابعادی استفاده کن.

• ارتفاع از سطح را با شعاع جرم آسمانی جمع کن.
• جرم ماهواره باید از رابطه سرعت و دوره مدار دایره‌ای حذف شود.
• مدار بالاتر باید سرعت کمتر و دوره بیشتری داشته باشد.
• نتیجه سرعت را با m/s و دوره را با s گزارش کن.