بازتاب کلی داخلی فقط وقتی ممکن است که نور از محیطی با ضریب شکست بیشتر به محیطی با ضریب شکست کمتر برود و زاویه تابش از زاویه بحرانی بزرگتر باشد. زاویه بحرانی θc زاویهای در محیط غلیظتر است که پرتو شکسته را دقیقاً مماس بر مرز میکند؛ بنابراین برای دو محیط با n₁ > n₂ داریم sin θc = n₂/n₁. اگر زاویه تابش کمتر از θc باشد نور میشکند، اگر برابر آن باشد پرتو شکسته روی مرز حرکت میکند و اگر بزرگتر باشد بازتاب کلی رخ میدهد.
دو شرط بازتاب کلی را پیش از محاسبه بررسی کن
شرط نخست جهت گذار است: پرتو باید از محیط با ضریب شکست بزرگتر n₁ به محیط با ضریب شکست کوچکتر n₂ برسد. شرط دوم به زاویه مربوط است: زاویه تابش i باید از زاویه بحرانی θc بیشتر باشد. نبودن هرکدام از این دو شرط یعنی بازتاب کلی نداریم؛ هرچند بخشی از نور ممکن است بهطور معمول بازتاب شود.
اصطلاح «غلیظتر نوری» به ضریب شکست بزرگتر اشاره دارد، نه لزوماً چگالی جرمی بیشتر. همچنین همه زاویهها نسبت به خط عمود بر سطح سنجیده میشوند. اگر شکل زاویه را با خود سطح داده باشد، ابتدا متمم آن را حساب کن تا زاویه تابش به دست آید.
- n₁ > n₂: زاویه بحرانی میتواند تعریف شود.
- i > θc: بازتاب کلی داخلی رخ میدهد.
- i = θc: زاویه شکست ۹۰ درجه و پرتو شکسته مماس بر مرز است.
رابطه زاویه بحرانی را از قانون اسنل بساز
قانون اسنل برای پرتوِ در حال گذار از محیط ۱ به ۲ به صورت n₁ sin i = n₂ sin r نوشته میشود. در حالت بحرانی، زاویه شکست r برابر 90° است؛ چون پرتو شکسته در امتداد سطح حرکت میکند. با قرار دادن sin 90° = 1، رابطه n₁ sin θc = n₂ و در نتیجه sin θc = n₂/n₁ به دست میآید.
این استنتاج نشان میدهد چرا باید n₁ از n₂ بزرگتر باشد: نسبت n₂/n₁ باید کوچکتر از یک باشد. اگر نور از محیط کمضریب به پرضریب برود، نوشتن نسبت وارونه و تلاش برای گرفتن سینوس معکوس یک عدد بزرگتر از یک، نشانه آن است که زاویه بحرانی برای این جهت تعریف نشده است.
مثال حلشده: مرز شیشه و هوا را تحلیل کن
پرتویی از شیشهای با ضریب شکست 1.50 به هوا با ضریب شکست 1.00 میرسد. برای زاویه بحرانی داریم sin θc = 1.00/1.50 = 0.667؛ پس θc تقریباً 41.8° است. این زاویه درون شیشه و نسبت به خط عمود اندازهگیری میشود.
اگر زاویه تابش 35° باشد، چون 35° < 41.8°، پرتو وارد هوا میشود و بازتاب کلی نداریم. در i = 41.8° پرتو شکسته روی مرز قرار میگیرد. در i = 50°، هر دو شرط برقرارند: نور از شیشه به هوا میرود و زاویه تابش از زاویه بحرانی بزرگتر است؛ پس در مدل مسئله بازتاب کلی داخلی رخ میدهد.
بدون محاسبه طولانی، زاویههای بحرانی را مقایسه کن
وقتی محیط دوم یکسان است، افزایش ضریب شکست محیط اول نسبت n₂/n₁ را کوچکتر میکند؛ بنابراین زاویه بحرانی کاهش مییابد. پس در میان دو ماده که با هوا مرز دارند، ماده با ضریب شکست بیشتر زاویه بحرانی کوچکتری دارد و برای دامنه بزرگتری از زاویههای تابش میتواند بازتاب کلی ایجاد کند.
اگر محیط اول ثابت و ضریب شکست محیط دوم بیشتر شود، نسبت n₂/n₁ و در نتیجه زاویه بحرانی بیشتر میشود؛ البته تا وقتی n₂ همچنان از n₁ کوچکتر باشد. برای مقایسه معمولاً همین رفتار تابع سینوس در بازه صفر تا 90 درجه کافی است و نیازی به محاسبه عددی هر زاویه نیست.
در منشور، هر سطح را یک مسئله جدا ببین
در شکل منشور ممکن است زاویه پرتو با ضلع، زاویه رأس یا زاویه میان دو سطح داده شود. در محل برخورد با هر سطح، یک خط عمود تازه رسم کن و زاویه میان پرتو و همان خط را i بگیر. استفاده از زاویه نسبت به سطح، بدون تبدیل به زاویه نسبت به عمود، رایجترین علت تشخیص نادرست بازتاب کلی است.
پس از بازتاب، قانون بازتاب برقرار است و زاویه بازتاب با زاویه تابش برابر میشود. مسیر تازه پرتو را رسم کن و برای برخورد بعدی دوباره زاویه تابش را از خط عمود جدید بسنج. زاویهای که در سطح اول به دست آمده لزوماً زاویه تابش سطح دوم نیست.
- در هر برخورد، جهت گذار n₁ به n₂ را دوباره مشخص کن.
- خط عمود همان سطح را رسم کن.
- زاویه تابش را با θc همان دو محیط مقایسه کن.
کاربرد فیبر نوری را با همین دو شرط توضیح بده
در مدل ساده فیبر نوری، ضریب شکست هسته از پوشش اطراف آن بیشتر است. پرتویی که با زاویه مناسب در هسته پیش میرود، در مرز هسته و پوشش با زاویهای بزرگتر از زاویه بحرانی برخورد میکند و بارها بازتاب کلی میشود؛ به این ترتیب نور در طول فیبر هدایت میشود.
این توضیح به معنی بازتاب کلی برای هر پرتوی ورودی نیست. زاویه ورود باید طوری باشد که پس از شکست در ابتدای فیبر، زاویه برخورد در مرز هسته و پوشش شرط بحرانی را برآورده کند. در سؤالهای دبیرستانی معمولاً ضریبهای شکست یا هندسه لازم برای بررسی همین شرطها داده میشود.
پاسخ را با چهار خطای رایج کنترل کن
اگر پاسخ زاویه بحرانی به دست آمد، باید بین صفر و 90 درجه باشد و به محیط پرضریب تعلق داشته باشد. سپس آن را با زاویه تابش، نه زاویه شکست و نه زاویه نسبت به سطح، مقایسه کن. عبارت «زاویه بزرگتر» بهتنهایی کافی نیست؛ جهت گذار نیز باید از ضریب شکست بیشتر به کمتر باشد.
برای مرور نحوه تعیین نزدیکشدن یا دورشدن پرتو از خط عمود و قرارداد زاویهها، راهنمای قانون اسنل و شکست نور را بخوان. آن مقاله مسیر شکست معمولی را توضیح میدهد و این راهنما روی حالت مرزی و بازتاب کلی تمرکز دارد؛ بنابراین دو نیت حل متفاوت اما مکملاند.
- نسبت ضریب شکستها را وارونه ننویس.
- زاویه دادهشده با سطح را به زاویه با عمود تبدیل کن.
- حالت i = θc را بازتاب کلی ننام؛ پرتو شکسته روی مرز است.
- برای هر مرز منشور، جهت و خط عمود را از نو تعیین کن.
برای حل سؤال بازتاب کلی، پیش از هر فرمول جهت حرکت نور و ضریب شکست دو محیط را بنویس. فقط در گذار از n بیشتر به n کمتر زاویه بحرانی تعریف میشود. سپس θc را از sin θc = n₂/n₁ بیاب و زاویه تابشِ نسبت به خط عمود را با آن مقایسه کن: کمتر، شکست؛ برابر، حرکت روی مرز؛ بیشتر، بازتاب کلی. در شکلهای چندمرزی مانند منشور، خط عمود و زاویه تابش را برای هر سطح از نو رسم کن.