نیروی مغناطیسی بر ذره باردار؛ تعیین جهت و مسیر دایره‌ای

اندازه نیروی مغناطیسی به چه چیزهایی بستگی دارد؟

برای ذره‌ای با بار q و سرعت v در میدان مغناطیسی یکنواخت B، اندازه نیرو F = |q|vB sinθ است؛ θ زاویه کوچک‌تر میان بردار سرعت و میدان است. قدرمطلق بار در محاسبه اندازه وارد می‌شود و علامت بار فقط جهت نیرو را تغییر می‌دهد.

اگر ذره موازی یا پادموازی میدان حرکت کند، θ برابر صفر یا ۱۸۰ درجه و نیرو صفر است. نیرو در حرکت عمود بر میدان بیشینه و برابر |q|vB می‌شود. پس دیدن qvB در هر مسئله کافی نیست؛ ابتدا باید زاویه را بررسی کنی. یکای B تسلا است و در رابطه نیرو باید سرعت را با متر بر ثانیه و بار را با کولن وارد کرد.

• v موازی B: نیروی مغناطیسی صفر و حرکت در همان راستا ادامه پیدا می‌کند.
• v عمود بر B: نیرو بیشینه و مسیر در میدان یکنواخت دایره‌ای است.
• زاویه دلخواه: فقط مؤلفه v⊥ = v sinθ در نیروی مغناطیسی سهم دارد.

جهت نیرو را بدون خطای علامت تعیین کن

برای بار مثبت، انگشتان دست راست را در جهت سرعت بگیر و آن‌ها را از مسیر زاویه کوچک‌تر به‌سمت میدان خم کن؛ شست جهت نیروی مغناطیسی را نشان می‌دهد. روش مؤلفه‌ای نیز همین نتیجه را می‌دهد: جهت نیرو مطابق حاصل‌ضرب برداری v × B است و بر صفحه‌ای که v و B می‌سازند عمود می‌شود.

برای بار منفی، ابتدا جهت را دقیقاً مانند یک بار مثبت پیدا کن و فقط پاسخ نهایی را برعکس کن. این ترتیب از قاطی‌شدن قاعده دست جلوگیری می‌کند. نماد × برای بردارِ رو به داخل صفحه و • برای بردارِ رو به بیرون صفحه است؛ می‌توانی آن‌ها را به‌ترتیب انتهای تیر و نوک تیر تصور کنی.

• علامت بار را کنار شکل بنویس، نه اینکه آن را در میانه قاعده دست وارد کنی.
• برای بار مثبت جهت v × B را بگیر.
• اگر بار منفی است، همان جهت به‌دست‌آمده را معکوس کن.

مسیر پنج‌مرحله‌ای حل مسئله ذره باردار

بردارهای v و B و علامت q را روی یک شکل ساده مشخص کن. زاویه میان سرعت و میدان را بخوان و ابتدا نوع حرکت را پیش‌بینی کن. سپس اندازه نیرو را با مؤلفه عمود سرعت حساب کن و جهت آن را با قاعده دست راست به دست آور.

اگر v عمود بر B است و نیروی دیگری وجود ندارد، نیروی مغناطیسی را برابر نیروی مرکزگرا بگذار. اگر سرعت مؤلفه موازی هم دارد، مؤلفه موازی ثابت می‌ماند و حرکت دایره‌ایِ مؤلفه عمود همراه با پیشروی در امتداد میدان، یک مسیر مارپیچی می‌سازد.

• شکل v، B و علامت بار را رسم کن.
• v را به مؤلفه‌های موازی و عمود بر میدان تجزیه کن.
• اندازه و جهت نیرو را جداگانه به دست آور.
• با توجه به مؤلفه‌ها مسیر مستقیم، دایره‌ای یا مارپیچی را تشخیص بده.
• تندی، واحدها و جهت خم‌شدن مسیر را کنترل کن.

مثال حل‌شده: جهت خم‌شدن پروتون و الکترون

ذره‌ای با سرعت رو به راست وارد میدان مغناطیسی رو به داخل صفحه می‌شود. جهت نیرو را یک‌بار برای پروتون و یک‌بار برای الکترون تعیین کن. سرعت و میدان بر هم عمودند، پس نیرو در صفحه و عمود بر سرعت خواهد بود.

برای بار مثبت، انگشتان دست راست را رو به راست می‌گیریم و به‌سمت داخل صفحه خم می‌کنیم؛ شست رو به بالا قرار می‌گیرد. بنابراین نیروی وارد بر پروتون رو به بالا و مسیر آن در آغاز به بالا خم می‌شود. الکترون بار منفی دارد، پس نیرو و خمیدگی مسیرش رو به پایین است.

نیرو در هر لحظه با سرعت جدید نیز عمود می‌ماند؛ بنابراین جهت نیرو پیوسته عوض می‌شود و ذره را روی مسیر دایره‌ای نگه می‌دارد. جهت نیروی لحظه‌ای همیشه به‌سمت مرکز دایره است.

شعاع و دوره حرکت دایره‌ای چگونه به دست می‌آیند؟

وقتی v عمود بر B است، اندازه نیروی مغناطیسی |q|vB و نیروی لازم برای حرکت دایره‌ای mv²/r است. از برابرگذاشتن آن‌ها رابطه r = mv/(|q|B) به دست می‌آید. ذره سنگین‌تر یا سریع‌تر شعاع بزرگ‌تری دارد؛ میدان قوی‌تر یا اندازه بار بیشتر، مسیر را تنگ‌تر می‌کند.

از T = 2πr/v و رابطه شعاع نتیجه می‌شود T = 2πm/(|q|B). در مدل غیرنسبیتی، دوره به تندی وابسته نیست. تندی بیشتر محیط دایره و شعاع را به یک نسبت افزایش می‌دهد، بنابراین زمان یک دور ثابت می‌ماند. جهت گردش به علامت بار بستگی دارد، اما شعاع و دوره با قدرمطلق بار محاسبه می‌شوند.

مثال حل‌شده: محاسبه شعاع مسیر پروتون

پروتونی با جرم تقریبی 1.67×10⁻²⁷ kg و بار 1.6×10⁻¹⁹ C با تندی 2×10⁶ m/s عمود بر میدان 0.5 T حرکت می‌کند. شعاع مسیر را پیدا کن.

داده‌ها را در r = mv/(|q|B) می‌گذاریم: صورت برابر 1.67×10⁻²⁷ × 2×10⁶ = 3.34×10⁻²¹ و مخرج برابر 1.6×10⁻¹⁹ × 0.5 = 8×10⁻²⁰ است. در نتیجه r ≈ 0.0418 m، یعنی حدود 4.2 cm می‌شود.

اگر تندی دو برابر شود، شعاع نیز دو برابر می‌شود؛ اما اگر میدان دو برابر شود، شعاع نصف خواهد شد. این وابستگی‌ها کنترل سریعی برای تشخیص وارونه‌نویسی رابطه‌اند.

چرا میدان مغناطیسی تندی را تغییر نمی‌دهد؟

نیروی مغناطیسی در هر لحظه بر سرعت عمود است، پس کار لحظه‌ای آن صفر است. در نتیجه انرژی جنبشی و اندازه سرعت ثابت می‌ماند، هرچند جهت سرعت تغییر می‌کند. میدان مغناطیسی به‌تنهایی نمی‌تواند ذره ساکن را به حرکت درآورد یا تندی یک ذره متحرک را زیاد کند.

اگر سرعت با میدان زاویه داشته باشد، v∥ بدون تغییر در راستای میدان پیش می‌رود و v⊥ حرکت دایره‌ای می‌سازد. ترکیب این دو، مسیر مارپیچی با گام ثابت است. شعاع مارپیچ از r = mv⊥/(|q|B) به دست می‌آید، نه با کل سرعت.

خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ

رایج‌ترین خطا حذف sinθ و فرض‌کردن عمودبودن سرعت و میدان است. خطای بعدی استفاده مستقیم از قاعده دست راست برای بار منفی و برعکس‌نکردن جهت است. همچنین رابطه شعاع فقط وقتی به شکل r = mv/(|q|B) نوشته می‌شود که سرعتِ واردشده عمود بر میدان باشد؛ در حالت مایل باید v⊥ را جایگزین کرد.

برای مرور تفاوت تغییر میدان و نیروی وارد بر بار متحرک، راهنمای قانون لنز و شار مغناطیسی را بخوان. اگر در تبدیل تسلا، کولن یا متر بر ثانیه تردید داری، مقاله تحلیل ابعادی و کنترل واحد کمک می‌کند؛ برای فهم سرعت و شتاب در حرکت دایره‌ای نیز می‌توانی به راهنمای حرکت‌شناسی برگردی.

• نیروی صفر می‌تواند ناشی از v = 0 یا موازی‌بودن v و B باشد.
• ثابت‌ماندن تندی به معنی ثابت‌ماندن بردار سرعت نیست.
• علامت بار جهت نیرو را عوض می‌کند، نه اندازه آن را.
• در مسیر دایره‌ای، نیروی مغناطیسی مماسی نیست؛ همواره به‌سمت مرکز است.