در پرتاب افقی، حرکت را به دو راستای مستقل تقسیم کن: در راستای افقی، اگر مقاومت هوا ناچیز باشد سرعت ثابت است؛ در راستای عمودی، جسم با شتاب گرانش سقوط میکند. زمان در هر دو حرکت یکسان است. بنابراین ابتدا زمان رسیدن به ارتفاع خواستهشده را از حرکت عمودی پیدا کن و سپس همان زمان را در رابطه حرکت افقی بگذار. این ترتیب، کوتاهترین راه برای یافتن برد، سرعت و جهت حرکت است.
چرا حرکت پرتابی را به دو راستا تجزیه میکنیم؟
پس از رهاشدن جسم و با فرض ناچیزبودن مقاومت هوا، تنها نیروی وارد بر آن وزن است. پس شتاب افقی صفر و شتاب عمودی برابر شتاب گرانش رو به پایین است. نیرویی در جهت حرکت افقی لازم نیست؛ جسم به دلیل لَختی مؤلفه افقی سرعت خود را حفظ میکند.
استقلال دو راستا یعنی شتاب عمودی، سرعت افقی را تغییر نمیدهد؛ بااینحال هر دو حرکت در یک بازه زمانی رخ میدهند. مکان جسم در هر لحظه از کنار هم گذاشتن مکان افقی و عمودی همان لحظه ساخته میشود و به همین دلیل مسیر کلی سهمیشکل است.
- راستای افقی: ax = 0 و vx = v0 است.
- راستای عمودی: ay = g رو به پایین و سرعت عمودی آغازین صفر است.
- زمان t حلقه ارتباطی دو راستاست و برای هر دو یک مقدار دارد.
مبدأ و جهت مثبت را پیش از نوشتن رابطه انتخاب کن
میتوانی مبدأ را نقطه پرتاب بگیری، محور x را در جهت پرتاب و محور y را رو به پایین انتخاب کنی. در این قرارداد، جابهجایی عمودی تا زمین h و شتاب عمودی +g است؛ پس x = v0t و y = (1/2)gt² نوشته میشود. این انتخاب برای پرتاب افقی معمولاً علامتهای کمتری دارد.
اگر محور عمودی را رو به بالا بگیری نیز حل درست است، اما شتاب −g و جابهجایی زمین نسبت به مبدأ −h میشود. دو قرارداد را با هم ترکیب نکن. پیش از جایگذاری عددها، کنار هر داده بنویس متعلق به محور x است یا y.
مسیر پنجمرحلهای حل مسئله پرتاب افقی
ابتدا شکل سادهای از لبه، نقطه پرتاب و محل فرود بکش. محور و مبدأ را تعیین کن و بردار سرعت آغازین را افقی نشان بده. سپس دادهها را در دو ستون افقی و عمودی قرار بده؛ ارتفاع در ستون عمودی و سرعت پرتاب در ستون افقی قرار میگیرد.
در بیشتر سؤالها زمان مجهول مشترک است. آن را از y = (1/2)gt² پیدا کن، سپس برای برد از x = v0t استفاده کن. اگر سرعت برخورد خواسته شده باشد، مؤلفه افقی همان v0 میماند و مؤلفه عمودی از vy = gt بهدست میآید؛ در پایان مؤلفهها را برداری ترکیب کن.
- شکل، مبدأ و جهت مثبت محورها را مشخص کن.
- هر داده و خواسته را به راستای افقی یا عمودی نسبت بده.
- معادله هر راستا را جدا و با زمان مشترک بنویس.
- زمان را از راستایی که داده کافی دارد پیدا کن.
- خواسته را حساب و نتیجه را از نظر واحد و جهت کنترل کن.
مثال حلشده: پرتاب توپ از لبه ساختمان
توپی از ارتفاع ۲۰ متر با سرعت افقی ۱۵ متر بر ثانیه پرتاب میشود. مقاومت هوا را ناچیز و g را ۱۰ متر بر مجذور ثانیه بگیر. زمان رسیدن به زمین، برد افقی و اندازه سرعت درست پیش از برخورد را پیدا میکنیم.
محور عمودی را رو به پایین میگیریم. از h = (1/2)gt² داریم 20 = 5t²، پس t = 2 s. در این دو ثانیه سرعت افقی ثابت است؛ بنابراین برد برابر x = v0t = 15×2 = 30 m میشود.
در لحظه برخورد vx = 15 m/s و vy = gt = 20 m/s رو به پایین است. اندازه سرعت از v = √(vx² + vy²) بهدست میآید: v = √(15² + 20²) = 25 m/s. این عدد از هر دو مؤلفه بزرگتر است و با جمع برداری آنها سازگار است.
با تغییر ارتفاع یا سرعت آغازین چه چیزی عوض میشود؟
زمان پرواز از t = √(2h/g) به ارتفاع و g وابسته است، نه به سرعت افقی آغازین. اگر دو جسم همزمان از یک ارتفاع رها شوند و یکی سرعت افقی داشته باشد، در مدل بدون مقاومت هوا هر دو همزمان به سطح همارتفاع میرسند؛ تفاوت آنها فقط در جابهجایی افقی است.
برد افقی R = v0√(2h/g) است. پس در ارتفاع ثابت، دوبرابرکردن سرعت آغازین برد را دوبرابر میکند. در سرعت ثابت، دوبرابرکردن ارتفاع برد را دوبرابر نمیکند؛ برد با جذر ارتفاع تغییر میکند. این وابستگیها راه خوبی برای کنترل گزینهها بدون محاسبه کاملاند.
سرعت و جهت حرکت را در یک لحظه چگونه پیدا کنیم؟
بردار سرعت در هر لحظه بر مسیر مماس است. مؤلفه افقی آن v0 و مؤلفه عمودی آن، با محور رو به پایین، gt است. اندازه سرعت از ریشه مجموع مربع مؤلفهها و زاویه آن با افق از tanθ = vy/vx بهدست میآید.
زاویه را با جهتی که در سؤال خواسته شده هماهنگ کن. اگر زاویه زیر افق خواسته شده، مقدار مثبت θ را همراه عبارت «زیر افق» گزارش کن. برای یک نقطه میانی نیز ابتدا زمان رسیدن به ارتفاع آن نقطه را از معادله عمودی بیاب و بعد مؤلفههای سرعت را در همان زمان حساب کن.
خطاهای رایج و چک نهایی پاسخ
رایجترین خطا دادن شتاب g به راستای افقی یا استفاده از سرعت افقی در معادله عمودی است. خطای دیگر، نوشتن h = gt² بهجای h = (1/2)gt² برای جسمی است که سرعت عمودی آغازین ندارد. همچنین سرعت افقی و عمودی را برای یافتن اندازه سرعت نباید بهصورت عددی جمع کرد؛ این دو بر هم عمودند.
در پایان بررسی کن زمان واحد ثانیه، برد واحد متر و سرعت واحد متر بر ثانیه داشته باشد. زمان پرواز نباید با زیادشدن سرعت افقی تغییر کند و برد باید با زیادشدن همان سرعت بیشتر شود. برای مرور نمودارهای مکان و سرعت به راهنمای حرکتشناسی و برای سنجش واحد روابط به راهنمای تحلیل ابعادی سایت رجوع کن.
- سرعت عمودی آغازین در پرتاب افقی صفر است؛ سرعت کل آغازین صفر نیست.
- شتاب افقی صفر است، اما جابهجایی افقی صفر نیست.
- در لحظه برخورد، سرعت افقی همچنان برابر مقدار آغازین است.
- فرض ناچیزبودن مقاومت هوا را فقط در چارچوب مدل مسئله به کار ببر.
در پرتاب افقی دو حرکت جدا اما همزمان داریم: حرکت یکنواخت افقی و سقوط آزاد عمودی. مبدأ و علامتها را مشخص کن، دادهها را میان دو محور تقسیم کن، زمان مشترک را معمولاً از راستای عمودی بهدست آور و سپس خواسته افقی یا بردار سرعت را حساب کن. در پایان، واحدها، جهت مؤلفهها و وابستگی جواب به ارتفاع و سرعت آغازین را بسنج؛ این کنترلها خطای فرمول و علامت را سریع آشکار میکنند.