در آزمایش دوشکاف یانگ، دو موج همدوس روی پرده همپوشانی میکنند. اگر اختلاف راه آنها مضرب صحیحی از طول موج باشد، نوار روشن و اگر مضرب نیمهصحیحی از طول موج باشد، نوار تاریک ساخته میشود. نزدیک محور مرکزی و برای زاویههای کوچک، مکان نوار روشن مرتبه m از yₘ = mλL/d و فاصله دو نوار روشن متوالی از Δy = λL/d به دست میآید. پس ابتدا نوع نوار و مرتبهاش را مشخص کن، همه طولها را به یک واحد ببر و بعد رابطه مناسب را بنویس.
نوار روشن و تاریک چگونه ساخته میشود؟
نور رسیده از دو شکاف در هر نقطه پرده دو مسیر متفاوت طی میکند. اختلاف این دو مسیر را با δ نشان میدهیم. وقتی قله دو موج همزمان به نقطه برسد، تداخل سازنده و شدت بیشتر است؛ وقتی قله یکی با دره دیگری برسد، تداخل ویرانگر و شدت کمتر میشود.
برای دو شکاف همفاز، شرط نوار روشن δ = mλ است که m میتواند صفر، ۱، ۲ و مانند آن باشد. شرط نوار تاریک δ = (m + 1/2)λ است. نوار روشن مرکزی m = 0 دارد، زیرا نقطه مرکزی از دو شکاف فاصله برابر دارد و اختلاف راه صفر است.
- روشن: اختلاف راه برابر ۰، λ، ۲λ و ... است.
- تاریک: اختلاف راه برابر λ/۲، ۳λ/۲، ۵λ/۲ و ... است.
- مرتبه نوارها را از نوار روشن مرکزی و در دو سوی آن میشماریم.
رابطه مکان نوارها از کجا میآید؟
اگر فاصله دو شکاف d، فاصله شکافها تا پرده L و زاویه نقطه موردنظر با محور مرکزی θ باشد، اختلاف راه تقریباً δ = d sinθ است. در آرایش معمول که L در مقایسه با d و فاصله نقطه از مرکز بزرگ است، زاویه کوچک داریم و sinθ ≈ tanθ ≈ y/L؛ بنابراین δ ≈ dy/L.
با قراردادن شرط روشنشدن در این رابطه، مکان نوار روشن مرتبه m برابر yₘ = mλL/d میشود. فاصله میان دو نوار روشن متوالی یا دو نوار تاریک متوالی مقدار ثابتی برابر Δy = λL/d است. مکان نخستین نوار تاریک از مرکز نیز λL/(2d) است.
- d فاصله مرکز تا مرکز دو شکاف است، نه پهنای هر شکاف.
- L فاصله صفحه شکافها تا پرده است.
- y از مرکز نوار روشن مرکزی روی پرده اندازهگیری میشود.
مسیر حل مسئلههای دوشکاف یانگ
گام اول، دادههای λ، L و d را با یکاهای سازگار یادداشت کن. گام دوم، تعیین کن سؤال مکان یک نوار، فاصله دو نوار متوالی یا تعداد فاصلهها را میخواهد. گام سوم، روشن یا تاریکبودن نقطه و شیوه شمارهگذاری مرتبه را مشخص کن. سپس از شرط اختلاف راه یا رابطه هندسی متناظر استفاده کن.
اگر فقط تغییر آرایش و نسبت فاصله نوارها خواسته شده است، محاسبه عددی لازم نیست: Δy₂/Δy₁ = (λ₂/λ₁)(L₂/L₁)(d₁/d₂). در پایان بررسی کن که افزایش L یا λ باید فاصله نوارها را بیشتر و افزایش d باید آن را کمتر کرده باشد.
- نوع خواسته را مشخص کن: اختلاف راه، مکان نوار یا فاصله نوارها.
- نانومتر و میلیمتر را پیش از جایگذاری به واحد سازگار تبدیل کن.
- شماره نوار را با تعداد فاصلهها یکی نگیر.
مثال حلشده: فاصله نوارها و مکان روشن مرتبه سوم
در یک آزمایش، طول موج نور 600 nm، فاصله دو شکاف 0.30 mm و فاصله پرده از شکافها 2.0 m است. فاصله نوارهای روشن متوالی و مکان نوار روشن مرتبه سوم را بیابید. ابتدا تبدیل میکنیم: λ = 6.0×10⁻⁷ m و d = 3.0×10⁻⁴ m.
از Δy = λL/d داریم Δy = (6.0×10⁻⁷ × 2.0)/(3.0×10⁻⁴) = 4.0×10⁻³ m، یعنی 4.0 mm. نوار روشن مرتبه سوم سه فاصله نواری با مرکز فاصله دارد؛ پس y₃ = 3Δy = 12 mm. در سوی دیگر مرکز نیز نواری با همین فاصله وجود دارد.
اگر سؤال فاصله دو نوار مرتبه سوم در دو سوی مرکز را میخواست، پاسخ 2y₃ یعنی 24 mm بود. این تفاوت نشان میدهد خواندن عبارت «فاصله از مرکز» و «فاصله دو نوار متقارن» پیش از محاسبه ضروری است.
مکان نوارهای تاریک و خطای شمارهگذاری
نخستین نوار تاریک در نیمه راه میان نوار روشن مرکزی و روشن مرتبه اول قرار دارد؛ پس فاصله آن از مرکز Δy/2 است. اگر m را در شرط δ = (m + 1/2)λ از صفر آغاز کنیم، نوار تاریک نخست m = 0، تاریک دوم m = 1 و تاریک سوم m = 2 خواهد بود.
بعضی صورت سؤالها نوار تاریک نخست را با شماره ۱ معرفی میکنند. در این شیوه، مکان تاریک شماره n برابر y = (n − 1/2)λL/d است. فرمولها متناقض نیستند؛ فقط مبدأ شمارهگذاری فرق دارد. پیش از جایگذاری ببین صورت سؤال مرتبه را از صفر تعریف کرده یا شماره نوار را از یک شمرده است.
با تغییر طول موج یا هندسه، الگو چه تغییری میکند؟
از Δy = λL/d میبینیم نور با طول موج بلندتر نوارهای دورتری میسازد. دورکردن پرده از شکافها نیز الگو را بازتر میکند. در مقابل، زیادکردن فاصله دو شکاف، نوارها را به هم نزدیکتر میکند. این وابستگیها برای پاسخدادن به سؤالهای مقایسهای کافیاند.
اگر بهجای نور تکرنگ از چند طول موج استفاده شود، هر طول موج فاصله نواری خودش را دارد؛ بااینحال نوار مرکزی برای همه آنها در یک مکان است، چون اختلاف راه در مرکز صفر است. برای فهم پیوند طول موج با بسامد، راهنمای نوسان و موج مفید است؛ در محیط ثابت از v = fλ استفاده میشود.
خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ
رایجترین خطاها عبارتاند از جایگذاری پهنای شکاف بهجای فاصله دو شکاف، استفاده از mλ برای نوار تاریک، شمردن نوار مرکزی بهعنوان مرتبه اول و اشتباهگرفتن yₘ با Δy. خطای یکا نیز بسیار اثرگذار است؛ نانومتر، میلیمتر و متر را نمیتوان بدون تبدیل در یک کسر قرار داد.
برای کنترل پاسخ، وابستگیها را بررسی کن: اگر پرده دورتر شده ولی نوارها در پاسخ نزدیکتر شدهاند، محاسبه یا نسبتنویسی اشتباه است. همچنین yₘ باید m برابر فاصله نواری باشد و نخستین تاریک باید در نصف این فاصله قرار گیرد. راهنمای موج ایستاده نیز مفهوم تداخل سازنده و ویرانگر را در سامانهای دیگر نشان میدهد، اما شرطهای مرزی آن را نباید جای روابط دوشکاف گذاشت.
- برای روشن و تاریک شرط اختلاف راه جداگانه بنویس.
- تعریف d و مبدأ y را از شکل بخوان.
- مکان نوار و فاصله نواری را از هم جدا نگه دار.
- نتیجه را با Δy ∝ λL/d کنترل کن.
برای حل مسئله دوشکاف یانگ، از شکل مشخص کن نقطه موردنظر روشن است یا تاریک و مرتبه را از نوار مرکزی بشمار. برای روشنها از δ = mλ و برای تاریکها از δ = (m + 1/2)λ استفاده کن. در هندسه زاویه کوچک نیز yₘ = mλL/d و Δy = λL/d مسیر مستقیم حلاند. افزایش طول موج یا فاصله پرده نوارها را بازتر و افزایش فاصله شکافها آنها را فشردهتر میکند. در پایان، یکاها، تعریف مرتبه و تفاوت «مکان نوار» با «فاصله نوارها» را کنترل کن.