برای حل مسئلههای توان، ابتدا بازه زمانی و انرژیِ منتقلشده را مشخص کن: توان متوسط از Pavg = ΔE/Δt به دست میآید. اگر نیرو و سرعت در یک لحظه داده شدهاند، توان همان نیرو برابر P = Fv cosθ است. در دستگاه واقعی نیز بازده η = Euseful/Ein = Puseful/Pin نشان میدهد چه سهمی از انرژی یا توان ورودی به خروجی مفید تبدیل شده است. نکته تعیینکننده این است که توان مفید را از خواسته مسئله بسازی، نه اینکه همیشه بیدرنگ mgv بنویسی.
توان چه چیزی را اندازه میگیرد؟
توان آهنگ انتقال انرژی یا انجام کار است. اگر در مدت Δt مقدار انرژی ΔE منتقل شود، توان متوسط Pavg = ΔE/Δt است. یکای توان وات است و 1 W = 1 J/s. پس دو دستگاه میتوانند کار یکسانی انجام دهند، اما دستگاهی که آن کار را در زمان کوتاهتری انجام میدهد توان متوسط بیشتری دارد.
در رابطه توان باید روشن باشد انرژی به کدام سامانه وارد یا از آن خارج میشود. برای نمونه، هنگام بالابردن بار با سرعت ثابت، خروجی مفید بالابر افزایش انرژی پتانسیل گرانشی بار است. گرمای موتور یا اصطکاک معمولاً بخشی از خروجی مفید تعریفشده نیست و در محاسبه بازده بهصورت اتلاف ظاهر میشود.
- انرژی را با ژول و زمان را با ثانیه وارد کن تا توان برحسب وات به دست آید.
- توان، انرژی نیست؛ توان بیشتر الزاماً به معنی مصرف انرژی بیشتر در یک کار یکسان نیست.
- پیش از فرمولنویسی، ورودی و خروجی مفید دستگاه را مشخص کن.
چه زمانی از P = Fv cosθ استفاده کنیم؟
توان لحظهای یک نیروی ثابت یا متغیر از ضرب داخلی نیرو و سرعت به دست میآید: P = Fv cosθ؛ θ زاویه میان بردار نیرو و بردار سرعت است. نیروی همجهت با حرکت توان مثبت، نیروی خلاف حرکت توان منفی و نیروی عمود بر سرعت توان صفر دارد. صفر بودن توان یک نیرو به معنی صفر بودن خود نیرو نیست.
این رابطه توان همان نیروی انتخابشده را میدهد، نه لزوماً توان برآیند یا توان مفید کل دستگاه. اگر چند نیرو کار انجام دهند، توان برآیند برابر مجموع توان آنهاست و با آهنگ تغییر انرژی جنبشی ارتباط دارد. بنابراین در سؤال باید عبارتهایی مانند «توان موتور»، «توان نیروی اصطکاک» یا «توان خالص» را دقیق بخوانی.
مسیر پنجمرحلهای حل مسائل توان و بازده
نخست سامانه و بازه زمانی را انتخاب کن. سپس مشخص کن سؤال توان متوسط میخواهد یا توان در یک لحظه. خروجی مفید را به زبان انرژی بنویس؛ مثلاً افزایش mgh برای بالابر یا افزایش انرژی پتانسیل حجم آب در پمپ. اگر حرکت شتابدار است و توان موتور خواسته شده، ابتدا نیروی موتور را از نمودار جسم آزاد پیدا کن.
در مرحله بعد توان مفید یا مکانیکی را محاسبه کن. اگر بازده داده شده است، از η = Puseful/Pin استفاده کن. در پایان بررسی کن که توان ورودی یک دستگاه با بازده کمتر از یک، باید از توان مفید بیشتر باشد.
- سامانه، ورودی و خروجی مفید را نام ببر.
- بین توان متوسط و لحظهای انتخاب کن.
- در صورت نیاز، نیرو یا تغییر انرژی را از روابط مکانیک به دست آور.
- بازده را به عدد اعشاری تبدیل و در نسبت درست قرار بده.
- واحد و بزرگتر بودن توان ورودی از توان مفید را کنترل کن.
مثال حلشده: توان موتور آسانسور با سرعت ثابت
کابین و بار آن در مجموع ۸۰۰ کیلوگرم جرم دارند و با سرعت ثابت ۲ متر بر ثانیه بالا میروند. اگر g = 10 m/s² و بازده موتور ۸۰ درصد باشد، توان مکانیکی مفید و توان ورودی موتور را پیدا کن.
چون سرعت ثابت است، شتاب صفر و نیروی کشش بالابر برابر وزن است: F = mg = 8000 N. نیرو و سرعت همجهتاند، پس توان مفید Puseful = Fv = 8000×2 = 16000 W، یعنی 16 kW است. همین نتیجه از آهنگ افزایش انرژی پتانسیل، Puseful = mgv، به دست میآید.
بازده ۸۰ درصد یعنی η = 0.80. از η = Puseful/Pin داریم Pin = 16000/0.80 = 20000 W یا 20 kW. اختلاف 4 kW میان ورودی و خروجی مفید، آهنگ تبدیل انرژی به شکلهای نامفید در مدل این سؤال است.
چرا در آسانسور شتابدار همیشه توان موتور mgv نیست؟
فرض کن همان جرم ۸۰۰ کیلوگرمی هنگام بالا رفتن، شتاب 1.5 m/s² رو به بالا و در آن لحظه سرعت ۲ متر بر ثانیه دارد. از قانون دوم نیوتن برای کابین مینویسیم Fmotor − mg = ma؛ بنابراین Fmotor = m(g + a) = 800(10 + 1.5) = 9200 N.
توان لحظهای نیروی موتور برابر Pmotor = Fmotor v = 9200×2 = 18400 W است. در همان لحظه آهنگ افزایش انرژی پتانسیل فقط mgv = 16000 W است و 2400 W باقیمانده با آهنگ افزایش انرژی جنبشی برابر است. پس mgv توان گرانشی یا افزایش انرژی پتانسیل را نشان میدهد، نه در هر شرایطی توان کامل موتور را.
مثال حلشده: توان پمپ از دبی جرمی آب
پمپی در هر ثانیه ۵ کیلوگرم آب را تا ارتفاع ۱۲ متر بالا میبرد. با g = 10 m/s²، توان مفید پمپ چقدر است؟ اگر بازده پمپ ۷۵ درصد باشد، توان ورودی را نیز پیدا کن.
در مدت t، جرم آب برابر m = ṁt است. افزایش انرژی پتانسیل mgh را بر t تقسیم میکنیم و به Puseful = ṁgh میرسیم. پس Puseful = 5×10×12 = 600 W. با η = 0.75، توان ورودی Pin = 600/0.75 = 800 W خواهد بود.
اگر بهجای دبی جرمی، دبی حجمی Q داده شود، با چگالی ρ میتوان نوشت ṁ = ρQ و در نتیجه Puseful = ρQgh. باید واحد Q را پیش از جایگذاری به مترمکعب بر ثانیه تبدیل کنی.
خطاهای رایج و کنترل نهایی پاسخ
رایجترین خطا، جابهجا نوشتن توان ورودی و مفید در رابطه بازده است. بازده دستگاه معمولی از یک کوچکتر است؛ بنابراین Puseful = ηPin و Pin = Puseful/η. خطای دیگر، استفاده از درصد بدون تبدیل است: ۸۰ درصد در محاسبه برابر 0.80 است، نه 80.
رابطه P = Fv فقط وقتی بدون عامل زاویه نوشته میشود که نیرو و سرعت همجهت باشند. همچنین در حرکت شتابدار، نیروی محرک را نباید خودکار برابر mg گرفت؛ نمودار جسم آزاد و قانون دوم نیوتن تعیین میکنند نیرو چقدر است. برای انتخاب میان رابطههای انرژی، راهنمای پایستگی انرژی یا کار و انرژی را ببین و برای ساخت معادله نیرو در آسانسور از راهنمای نمودار جسم آزاد کمک بگیر.
- توان باید واحد ژول بر ثانیه یا وات داشته باشد.
- برای دستگاه اتلافدار، توان ورودی از توان مفید بیشتر است.
- اگر سرعت صفر باشد، توان لحظهای Fv صفر است؛ حتی اگر نیرو وجود داشته باشد.
- در سرعت ثابت، انرژی جنبشی تغییر نمیکند؛ در شتابگیری این تغییر را نادیده نگیر.
در مسائل توان، ابتدا ورودی و خروجی مفید دستگاه را نامگذاری کن. برای یک بازه از ΔE/Δt و برای توان لحظهای یک نیرو از Fv cosθ استفاده کن. رابطه mgv فقط وقتی توانِ افزایش انرژی پتانسیل گرانشی را میدهد که سرعت عمودی باشد؛ در حرکت شتابدار، توان موتور ممکن است با آن برابر نباشد. در پایان، بازده را بیواحد، توان را با وات و نسبت توان ورودی و مفید را از نظر فیزیکی کنترل کن.