نیروی محرکه و مقاومت داخلی باتری؛ روش محاسبه ولتاژ دو سر مولد

نیروی محرکه با ولتاژ دو سر باتری چه تفاوتی دارد؟

نیروی محرکه ε با وجود نامش نیرو نیست؛ انرژی‌ای است که مولد به ازای عبور هر واحد بار فراهم می‌کند و واحد آن ولت است. ولتاژ دو سر V اختلاف پتانسیلی است که در همان وضعیت کار، میان پایانه‌های باتری اندازه می‌گیریم. این دو کمیت برای یک باتری واقعی همیشه برابر نیستند.

وقتی مدار باز است و جریان ناچیز است، افت داخلی Ir نیز ناچیز می‌شود و ولت‌سنج آرمانی V = ε را نشان می‌دهد. هنگام دشارژ، بخشی از انرژی در مقاومت داخلی به گرما تبدیل می‌شود؛ بنابراین ولتاژ قابل‌دسترس برای مدار خارجی از ε کمتر است. هرجا در صورت سؤال «ولتاژ دو سر مولد» دیدی، بی‌درنگ آن را با ε یکی نگیر و ابتدا وضعیت جریان را بررسی کن.

• ε و V هر دو واحد ولت دارند، اما یک مفهوم نیستند.
• در مدار باز آرمانی، I = 0 و در نتیجه V = ε است.
• افت ولتاژ داخلی در دشارژ برابر Ir است.

مسیر حل مدار باتری در حالت دشارژ

اگر جریان قراردادی از پایانه مثبت باتری خارج شود، باتری در حال تحویل انرژی به مدار است. برای یک مقاومت خارجی R که مستقیم به باتری وصل شده، قانون حلقه می‌دهد ε − Ir − IR = 0؛ پس I = ε/(R + r). پس از یافتن جریان، ولتاژ دو سر باتری را می‌توان از V = ε − Ir یا از V = IR به دست آورد. برابری این دو، کنترل خوبی برای محاسبه است.

در مدار پیچیده‌تر، R را فقط زمانی جایگزین مقاومت‌های خارجی کن که واقعاً مقاومت معادل میان دو پایانه باتری را درست محاسبه کرده باشی. مقاومت داخلی r با مدار خارجی سری است، اما نباید آن را در شکل شبکه خارجی پنهان کرد؛ جدا نگه‌داشتن آن تشخیص ولتاژ پایانه‌ای و توان تلف‌شده را آسان‌تر می‌کند.

• جهت فرضی جریان را روی شکل علامت بزن.
• قانون حلقه را با ε، افت Ir و افت‌های مدار خارجی بنویس.
• پس از محاسبه I، ولتاژ پایانه‌ای را جداگانه پیدا کن.
• اگر I منفی شد، جهت واقعی خلاف جهت فرضی است.

مثال حل‌شده: ولتاژ دو سر باتری زیر بار

باتری‌ای با نیروی محرکه ۱۲ ولت و مقاومت داخلی ۰٫۵ اهم به مقاومت خارجی ۵٫۵ اهم وصل است. مقاومت کل حلقه 6 Ω است؛ بنابراین I = 12/6 = 2 A. ولتاژ دو سر باتری هنگام کار برابر V = 12 − 2×0.5 = 11 V می‌شود.

از سمت مدار خارجی نیز V = IR = 2×5.5 = 11 V به دست می‌آید. توان تولیدشده مولد εI = 24 W است؛ از این مقدار، I²r = 2 W داخل باتری تلف و I²R = 22 W به مقاومت خارجی داده می‌شود. جمع دو توان مصرفی با توان مولد برابر است.

در حالت شارژ چرا علامت رابطه عوض می‌شود؟

اگر یک منبع خارجی قوی‌تر، جریان را از پایانه مثبت وارد باتری کند، باتری انرژی دریافت می‌کند. در حرکت از پایانه منفی به مثبت باتری، علاوه بر افزایش پتانسیل ε، برای عبور جریان از مقاومت داخلی نیز اختلاف پتانسیل لازم است؛ بنابراین ولتاژ اعمال‌شده به دو سر باتری V = ε + Ir خواهد بود.

برای مثال، اگر باتری ۱۲ ولتی با مقاومت داخلی ۰٫۵ اهم با جریان ۲ آمپر شارژ شود، ولتاژ دو سر آن در مدل ساده V = 12 + 2×0.5 = 13 V است. معیار حفظی مطمئن این است: خروج جریان از پایانه مثبت یعنی دشارژ و علامت منفی؛ ورود جریان به پایانه مثبت یعنی شارژ و علامت مثبت.

• دشارژ: جریان از پایانه مثبت خارج می‌شود و V < ε است.
• شارژ: جریان به پایانه مثبت وارد می‌شود و V > ε است.
• پیش از استفاده از رابطه، جهت جریان را از روی کل مدار تعیین کن.

اتصال کوتاه و جریان بیشینه در مدل مدار

اگر در مدل ساده، پایانه‌ها با سیمی با مقاومت خارجی تقریباً صفر به هم وصل شوند، R ≈ 0 و جریان I_sc = ε/r می‌شود. این مقدار نسبت به جریان عادی بزرگ است، چون فقط مقاومت داخلی آن را محدود می‌کند. همچنین V = ε − I_sc r = 0؛ یعنی تقریباً همه انرژی درون باتری به گرما تبدیل می‌شود.

اتصال کوتاه یک وضعیت خطرناک است و آزمایش عملی مناسبی برای دانش‌آموز نیست. رابطه I_sc صرفاً برای تحلیل مدل مسئله به کار می‌رود؛ باتری واقعی ممکن است با افزایش دما، تغییر مقاومت داخلی یا سازوکار حفاظتی از مدل ساده فاصله بگیرد.

توان مفید، توان تلف‌شده و بازده مولد

مولد هنگام دشارژ توان P_source = εI تولید می‌کند. توان رسیده به مدار خارجی P_load = VI = I²R و توان تلف‌شده در مقاومت داخلی P_internal = I²r است. از قانون پایستگی انرژی داریم εI = I²R + I²r. نوشتن این تراز راهی سریع برای کنترل پاسخ است.

در مدار ساده، بازده انتقال انرژی به مقاومت خارجی η = P_load/P_source = V/ε = R/(R + r) است. این بازده را با «بیشترین توان تحویلی» یکی نگیر: بزرگ‌ترکردن R بازده را افزایش می‌دهد، اما توان بار الزاماً پیوسته بیشتر نمی‌شود. اگر سؤال فقط ولتاژ یا جریان می‌خواهد، لازم نیست وارد بحث بهینه‌سازی توان شوی.

چگونه از نمودار ولتاژ پایانه‌ای برحسب جریان ε و r را پیدا کنیم؟

برای باتری در حال دشارژ، رابطه V = ε − rI معادله یک خط است. در نمودار V برحسب I، عرض از مبدأ برابر ε و شیب برابر −r است. پس مقاومت داخلی از قدرمطلق شیب به دست می‌آید: r = |ΔV/ΔI|. اگر جای محورهای V و I عوض شود، تعبیر شیب نیز عوض خواهد شد.

فرض کن خط از نقطه‌های (I = 0 A, V = 9 V) و (I = 3 A, V = 7.5 V) می‌گذرد. نیروی محرکه ۹ ولت است و شیب (7.5 − 9)/(3 − 0) = −0.5 V/A؛ پس r = 0.5 Ω. امتداد مدل تا V = 0، جریان اتصال کوتاه I = ε/r = 18 A را نشان می‌دهد. راهنمای نمودار جریان–ولتاژ برای تمرین بیشترِ تشخیص شیب و محورهای نمودار مفید است.

خطاهای رایج و سه کنترل سریع جواب

خطاهای معمول عبارت‌اند از برابرگرفتن همیشگی V و ε، حذف r از مقاومت کل حلقه، استفاده از V = ε − Ir در حالت شارژ و گرفتن شیب نمودار بدون توجه به جای محورها. در مدار چندمنبعی نیز نباید از ظاهر نماد باتری درباره شارژ یا دشارژ نتیجه گرفت؛ جهت جریان واقعی تعیین‌کننده است. برای ساده‌کردن شبکه خارجی می‌توانی از راهنمای مدارهای الکتریکی کمک بگیری.

کنترل اول: اگر I = 0 باشد باید V = ε شود. کنترل دوم: اگر r = 0 باشد باتری آرمانی است و هنگام دشارژ نیز V = ε می‌ماند. کنترل سوم: در اتصال کوتاه مدل ساده، R = 0، V = 0 و I = ε/r است. ناسازگاری جواب با هر یک از این حدها معمولاً خطای علامت یا جای‌گذاری را آشکار می‌کند.

• واحد ε و V ولت، r و R اهم و I آمپر است.
• هنگام دشارژ باید 0 ≤ V ≤ ε باشد.
• توان تولیدی باید با مجموع توان‌های مصرفی سازگار باشد.
• جهت جریان را پیش از انتخاب علامت رابطه مشخص کن.